Introducción a los modelos de epidemias
Modelos SIR y modelos de metapoblaciones
2026-05-05
Modelo SIR clásico
Divide la población en tres compartimentos:
- \(S\): susceptibles
- \(I\): infectados
- \(R\): recuperados
- \(S\): susceptibles
Población total constante:
\[ N = S + I + R \]
Dinámica del modelo SIR
\(\frac{dS}{dt} = -\beta \frac{S I}{N}\)
\(\frac{dI}{dt} = \beta \frac{S I}{N} - \gamma I\)
\(\frac{dR}{dt} = \gamma I\)
Intuición
- La infección ocurre por contacto entre \(S\) e \(I\)
- Recuperación ocurre a tasa constante \(\gamma\)
- Mezcla homogénea (todos con todos)
Número reproductivo básico
\[ R_0 = \frac{\beta}{\gamma} \]
- \(R_0 > 1\): epidemia crece
- \(R_0 < 1\): epidemia desaparece
Dinámica típica
- Crecimiento inicial exponencial
- Pico epidémico
- Disminución por agotamiento de susceptibles
Limitaciones del modelo SIR
- No hay estructura espacial
- Mezcla homogénea poco realista
- No incluye movilidad
Pregunta clave
¿Qué pasa si las personas se mueven entre regiones?
Hacia modelos más realistas
- Introducir estructura espacial
- Introducir movilidad
- Modelar interacciones entre regiones (datos!)
Esto nos lleva al modelo metapoblacional
Modelo metapoblacional SIR con movilidad
Objetivo
- Modelar propagación epidémica en múltiples regiones
- Incorporar movilidad realista (commuting)
- Capturar acoplamiento entre regiones
Estructura metapoblacional
- \(m\) regiones (condados)
- Cada región tiene población total:
\[ N_i^{(\mathrm{pop})} = S_i + I_i + R_i \]
Subpoblaciones por movilidad
- Individuos definidos por origen-destino: \(i \to j\)
\[ N_{ji}^{(\mathrm{pop})} = p_{ji} \, N_i^{(\mathrm{pop})} \]
- Probabilidad de commuting:
\[ p_{ji} = \frac{F_{ji}}{\sum_j F_{ji}}, \quad \sum_j p_{ji} = 1 \]
Variables del modelo
Para cada subpoblación \(i \to j\):
- \(S_{ji}\): susceptibles
- \(I_{ji}\): infectados
- \(R_{ji}\): recuperados
Idea clave
- Cada individuo:
- Vive en \(i\)
- Se desplaza a \(j\)
- Mezcla en dos entornos:
- Hogar
- Trabajo
Fuerza de infección
En el hogar
\[ \lambda_i^{\text{home}} = \frac{\beta}{2} \frac{\sum_k I_{ki}}{\sum_k N_{ki}^{(\mathrm{pop})}} \]
En el destino
\[ \lambda_j^{\text{work}} = \frac{\beta}{2} \frac{\sum_k I_{jk}}{\sum_k N_{jk}^{(\mathrm{pop})}} \]
Dinámica de la epidemia
Susceptibles
\(\frac{dS_{ji}}{dt} = - S_{ji} (\lambda_i^{\text{home}} + \lambda_j^{\text{work}})\)
Infectados
\(\frac{dI_{ji}}{dt} = -\gamma I_{ji} + S_{ji}(\lambda_i^{\text{home}} + \lambda_j^{\text{work}})\)
Dinámica de recuperados
\(\frac{dR_{ji}}{dt} = \gamma I_{ji}\)
Interpretación
- Mezcla homogénea dentro de cada localización
- Incluye residentes y commuters
- Transmisión depende de:
- Prevalencia local
- Flujos de movilidad
Rol de la movilidad
- Define acoplamiento entre regiones
- Permite transmisión a larga distancia
- Genera estructura de red
Simulación estocástica
Transiciones
\[ \Delta(S_{ji} \to I_{ji}) \sim \text{Binom}(S_{ji}, P(\Delta t; \lambda_{ji})) \]
\[ \Delta(I_{ji} \to R_{ji}) \sim \text{Binom}(I_{ji}, P(\Delta t; \gamma)) \]
Probabilidad de infección:
\[ P(\Delta t; \lambda_{ji}) = 1 - e^{-\lambda_{ji} \Delta t} \]
Modelando reducción de movilidad
Factor de reducción:
\[ \kappa_i = \frac{\sum_k (F_{ki}(T_L) + F_{ik}(T_L))}{\sum_k (F_{ki}(T_0) + F_{ik}(T_0))} \]
Escenario 1: aislamiento
- Fracción \(1 - \kappa_i\) se elimina de la dinámica
- Se mueve a compartimento \(R\)
Escenario 2: distanciamiento
\[ \beta_i = \kappa_i \beta \]
Nueva fuerza de infección
\[ \lambda_i^{\text{home}} = \frac{\beta_i}{2} \frac{\sum_k I_{ki}}{\sum_k N_{ki}^{(\mathrm{pop})}} \]
\[ \lambda_j^{\text{work}} = \frac{\beta_j}{2} \frac{\sum_k I_{jk}}{\sum_k N_{jk}^{(\mathrm{pop})}} \]
Intuición final
La epidemia se propaga porque los individuos viven en un lugar pero interactúan en otro.
Mensaje clave
- La movilidad estructura la transmisión
- No es solo un modelo SIR
- Es un sistema acoplado en red
Discusión
- ¿Qué pasaría sin commuting?
- ¿Qué supuestos son más críticos?
- ¿Cómo cambiaría con heterogeneidad?
Del modelo a la implementación
- El código implementa un modelo SIR metapoblacional
- Cada individuo tiene:
- Lugar de residencia (i)
- Lugar de trabajo (j)
👉 Se modela con una matriz (M M)
Estructura de la población
- Matriz:
\[ N_{ij} \]
Interpretación:
- Fila (i): donde vive
- Columna (j): donde trabaja
Ejemplo conceptual
| Trabajo 1 | Trabajo 2 | |
|---|---|---|
| Vive 1 | (N_{11}) | (N_{12}) |
| Vive 2 | (N_{21}) | (N_{22}) |
👉 Cada celda es una subpoblación
Dinámica de infección
Cada individuo puede infectarse en:
- 🏠 Hogar (i)
- 🏢 Trabajo (j)
Fuerza de infección
En el hogar:
\[ \lambda_i^{home} \propto \\frac{I \\text{ en } i}{N \\text{ en } i} \]
En el trabajo:
\[ \lambda_j^{work} \propto \\frac{I \\text{ en } j}{N \\text{ en } j} \]
Supuesto clave
Tiempo dividido en dos:
50% hogar
50% trabajo
Implementación en código
Introduciendo cuarentena en el modelo
- Queremos modelar reducción de movilidad
- Se define un factor:
\[ \kappa = \frac{\text{movilidad actual}}{\text{movilidad base}} \]
- Valores:
- ( = 1 ): sin cambios
- ( < 1 ): reducción de movilidad
- ( = 1 ): sin cambios
Dos mecanismos de lockdown
El modelo considera dos mecanismos distintos:
- Aislamiento
- Distanciamiento
Importante: representan procesos físicos diferentes
Dos mecanismos de lockdown
Escenario 1: Aislamiento
Escenario 1: Distanciamiento
Parte práctica
Instrucciones para instalar EpiCommute
- Abrimos la terminar y nos conectamos al servidor
- Entramos en la carpetta del curso (
cd mini-course-scicomp) - Activamos el venv
- Instalar EpiCommute:
- Descargamos Epicommute:
git clone https://github.com/franksh/EpiCommute.git - Acedemos a la carpeta del paquete:
cd EpiCommute - Instalamos el paquete en el venv:
python setupy.py install - Probamos que se instaló de forma correcta:
python -c "import EpiCommute" - Si no hay mensajes de erro es que fue todo OK!
- Descargamos Epicommute:
Ejercicio 1
Ejecuta la simulación básica.
Preguntas:
- ¿qué representa cada región?
- ¿cómo se propaga la epidemia?